誰でも簡単に幾何学模様を描けるのが、「スピログラフ」という玩具です。
「子供のころ遊んだ」とか「100円ショップで見かけた」という人も多いでしょう。
スピログラフは定規の一種ですが、描くのは直線ではなく神秘的な幾何学模様です。
歯車に空いた穴に鉛筆を刺して歯車の動きに従って線を引くだけで、万華鏡のような美しい模様が描けます。
しかしなぜ「スピログラフ」は、そんな単純な動きで人が美しいと感じる模様を生み出すことができるのでしょうか？
今回は数学的美しさを秘めた不思議な定規スピログラフを解説します。
神秘的な幾何学模様を描く定規「スピログラフ」とは
上の模様すべては、精密かつ複雑な曲線で成り立っており、まるで万華鏡のように魅力的ですね。
実はこれらの幾何学模様は、コンピュータなどを使わなくても、シンプルなアイテムで誰でも簡単に描けてしまいます。
そのアイテムこそが、曲線を描くための定規の一種「スピログラフ」です。
スピログラフは歯車状の外側のリングと、その内側に収まる小さな歯車で成り立ちます。
小さな歯車にはいくつかの穴が開いており、その穴にボールペンや鉛筆の先を通すことができます。
後は、歯車に沿わせて鉛筆を走らせるだけで、自然と幾何学模様が完成。
歯車状の外側のリングや小さな歯車のサイズ、穴の位置を変更することで、模様の種類が大きく変化するのが特徴です。
画像のような長方形のプラスチック板に穴が開いたタイプのスピログラフを見たことがある人は多いかもしれません。
他にも、主に子供用の玩具として複数の商品が販売されています。
イギリス人発明家のデニス・フィッシャー氏は、1960年に自分の会社である「デニス・フィッシャー・エンジニアリング」を設立。
精密部品や様々なパターンの描写機械を製造する中で、スピログラフのアイデアを思いつきました。
そして考案から1年後にはライセンスを取得し、商品化。
瞬く間にブームとなり、1967年にはイギリスの「トイ・オブ・ザ・イヤー」に選ばれました。
1977年までには、3000万個以上のスピログラフが販売されており、現代でも「手軽に幾何学模様を描けるアイテム」として、人々の関心を引き付けています。
そんなスピログラフは、どのように美しい模様を描いているのでしょうか。もう少し詳しく考えてみましょう。
スピログラフはどうやって多様な幾何学模様をつくるのか？
スピログラフで描かれる曲線は、数学用語で「内トロコイド」と呼ばれます。
トロコイドとは、曲線の上を円が転がるときに、円の内部または外部の定点が描く曲線を指します。
円が転がる時、円周上にある点が描く曲線はサイクロイドと呼ばれ、こちらの方が有名ですが、トロコイドはサイクロイドの定点が円周上にないパターンを指しています。
そして特に、円の転がる曲線も円形である場合、その定円の外側を動円が転がったケースを「外トロコイド」、内側を転がったケースを「内トロコイド」と言います。
スピログラフは、大きな歯車状のリングの内側を小さな歯車状の円が転がるので、その内部の穴（定点）に鉛筆を差し込むことで描かれる軌跡は、「内トロコイド」になります。
内トロコイドは次の数式で表現できるため、私たちはスピログラフが描く図形に、一定の法則や緻密さを感じることができます。
別に数式を理解する必要はありませんが、法則性のあるものを私たちは美しいと感じがちです。
複雑で緻密な図形を、単純な玩具で正確に描けることこそが、スピログラフの魅力だと言えるでしょう。
また、1つの要素を変化させるだけでも、完成する図形は大きく異なっていきます。
例えば、同サイズの歯車でも、鉛筆を入れる穴の位置を変化させるだけで、下図のような違いが生まれます。
また内側で転がる歯車のサイズを変化させても、下のように大きな違いが生じます。
そのため、それぞれのパラメータを少しずつ変化させるだけでも、簡単に多種多様な模様を描くことができます。
さらに2つ以上の模様を重ねて描くことで、オリジナルのオシャレな模様をつくることができるでしょう。
上級者たちの中には、専用のマシンを用いてスピログラフのアートを描く人もいるようです。
ここまで来るとさすがに、玩具レベルは超えていますね。
数学的な法則性を持つ図形は、プログラムを使ったり単純な道具の組み合わせることで簡単に描くことができます。しかし、私たちがフリーハンドでそれを再現しようとすると、とてつもなく難しい作業になります。
その作業的なアンバランスさと、秘められた法則性が私たちを魅了してやまない理由でしょう。そしてそれこそが数学の持つ美しさでもあります。
数学理論とアートは深い関係があります。たとえば、多くの人を魅了する画家エッシャーは数学の法則を使ってさまざまな作品を生み出しています。
子供のころ何気なく遊んでいたスピログラフも、大人になってから数学に思いを馳せながら触ると違った印象で見えるかもしれません。
たまには、スピログラフで自分好みの幾何学模様を探してみてはいかがでしょうか。良い気分転換になるかもしれません。
Denys Fisher, Inventor of the Spirograph (1977)
https://thekidshouldseethis.com/post/spirograph-inventor-1977-denys-fisher-video
The Mathematics of Spirograph
https://aperiodical.com/2021/12/the-mathematics-of-spirograph/
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