地球をはじめボールや「軸受け」にも使われている「球」。数学の授業では体積の求め方も習うのに、現在の技術では地球上で作れないのはご存じでしょうか?

完全な「球」は、どの角度から見ても円を描いていなければなりませんが、重力によってわずかな「ゆがみ」が生じてしまうので、地球上ではほぼ不可能……どの天体の重力も受けない宇宙空間でなければ作れません。完全な球を完全な平面に置いたら、触れている面積は理論上ゼロと、球はフシギな物体なのです。

■最高ランクでも10万分の8ミリの誤差

ボール地球儀などに用いられる「球」は、日常的な存在といえるでしょう。なかでも「軸受け」に使われるボールベアリングは球の特徴を活かした部品で、回転する軸と軸受けのあいだに球が入るため、接触面積が減る=摩擦も減るの構図から、自動車ハードディスクなど、あらゆる分野で利用されています。もしベアリングの球がラグビーボールのようにゆがんでいたら、摩擦が増えるだけでなく、軸/軸受けを壊してしまう可能性もあります。そこで完全な球である真球(しんきゅう)を作る研究が数多くなされていますが、現在の技術では不可能……地球の重力によってゆがみが生じてしまうからです。

ベアリングなどの球は、どのように作られるのでしょうか? 一般的な製造方法は、

 ・針金状の材料を切る

 ・「型」ではさんで成形する

 ・余分な部分を切り落とす

その後は熱処理や洗浄を経て、ラッピングと呼ばれる作業で精度を高めていきます。ラッピングは、球が研磨機のあいだを何度も通過させて少しずつ削る作業で、それ後ひとつずつ磨かれる場合もあります。ベアリングボールはとくに精度が求められるため、日本工業規格(JIS)で10段階のランクが定められ、ランクと許される直径の誤差(マイクロメートル)は、

 ・等級3(最高ランク) … 0.08マイクロメートル

 ・等級200(最低ランク) … 5マイクロメートル

と大きな差がありますが、1マイクロメートルは千分の1ミリですから、等級200でもカンタンに作れるものではありません。誤差が生じる最大の原因は地球の重力で、自体の重さも相まってわずかながらにもゆがんでしまうからです。もし真球を作りたければ、重力の影響がきわめて小さい宇宙空間で気体か液体を使うほか、現時点では道はないのです。

■球の「体積」は、断面積の合計

もし真球があったら、どんなことが起きるのでしょうか? 摩擦や振動が大幅に減らせるだけでなく、平らなところに置いたら接触面積はゼロと、理論上・何にも触れていないのと同じ、フシギな現象が起きるのです。

球の輪郭(りんかく)を成す円は、中心から同じ距離の「点」の集まりであるため、直線に触れても面ではなく「点」。おまけに、点には長さも面積もない、と定義されているので「何も触れていない」ことになるのです。これは球も同じで、真球を完全な平面のうえに置くと触れている面積はゼロ……ある意味で宙に浮いているのと同じ状態になるのです。

球の体積は、どのようにして求めるのでしょうか?

 ・4 ÷ 3 × 円周率3.14 × 半径の3乗

の公式で知られていますが、これは球を細かくスライスして作った「円」の面積の合計。3Dプリンタで、大小の円を重ね合わせれば「球」ができるのと逆の理屈で求められているのです。ただし、最初の円は面積がゼロなので、どうすれば良いのやら…。日常にあふれているかたちでありながら、球は再現が困難な物体なのです。

■まとめ

 ・地球上では重力の影響を受けるため、現在の科学でも真球は作れない

 ・最高ランクベアリングボールでも、10万分の8ミリの誤差が許されている

 ・球の体積の公式は、スライスしてできる「円の面積」の合計

 ・もし真球を平面上に置いたら、触れている面積はゼロ

(関口 寿/ガリレオワークス)