数学的に考えるとは何か。ビジネス数学教育家の深沢真太郎氏は「たとえば円周率を聞かれて、3.14と答えるのは間違っている。数学とは『計算』ではなく『コトバ』を使う学問だからだ」という——。

※本稿は、深沢真太郎『数学的に考える力をつける本』(三笠書房)の一部を再編集したものです。

■数学の本質は「計算」ではなく「コトバ」

シンプルな問いに対する答えほど、本質をよく表現するものです。

たとえば「給与」とは何でしょうか。

「毎月もらうもの」
「生活の糧(かて)になるもの」

そんな答えが一般的かもしれません。

一方で、「会社がしている投資」という考え方もあるでしょう。

何ごとも、リターンを得るには投資をする必要があります。会社は従業員に成果を求めて給与という投資をするのです。これが給与の本質かもしれません。

株式投資では、成果というリターンがなければ、その銘柄は持っていても意味がありません。いずれは処分することになるでしょう。そのように考えると、給与というものがより明確に見えてきます。

では、シンプルな問いをもうひとつ。

数学とは、いったい何をする学問でしょうか。

私が耳にした答えの多くに「計算」という表現が含まれていました。たしかに、数学の授業ではかなりの時間を計算に費やしました。しかし、数学の主役は本当に「計算」なのでしょうか。

私の答えはノーです。

計算という行為は、単なる作業です。先生に教えられたルールのとおりにやれば、誰でも正しい答えを導けます。ましてビジネスパーソンなら、現場では電卓やエクセルを使うだけの機械的な作業になっていることでしょう。

つまり、もし数学が計算することを主とする学問だとすると、「数学=作業」ということになってしまいます。

数学=作業? そうなのか?

どんなに数学が嫌いだった人でも、この結論には違和感を持つのではないでしょうか。もちろん私も同じです。すなわち、数学の本質は「計算」ではないということです。そこで、私の答えを1行で述べることにします。

数学とは、コトバの使い方を学ぶ学問。

この「コトバ」とは、もちろんあなたが認識する「言葉」と同義です。

わかっています。おそらくあなたは、「言葉の使い方を学ぶのは国語では?」という疑問を持ったことでしょう。もちろん、言葉の使い方を学ぶのは国語という見方も正しいのですが、私は数学もコトバの使い方を学ぶために勉強するものだと考えています。

■「しかも」「ゆえに」のような論理コトバで事実をつなげる

たとえば、五角形の面積をどう求めるか考えてみます(図表1参照)。

「しかも」や「ゆえに」のような論理的なコトバ(矢印➡で表現)で事実をつなげていくことで、五角形の面積を求める手法を説明できました。

論理的なコトバ」という表現はちょっとカタいかもしれません。少し柔らかく「論理コトバ」と表現することにします。

ここからが重要です。もしあなたが学生だったら、このあとに実際に面積を計算し正解を求める行為をするわけです。でもよく考えてみてください。その計算という行為は単なる作業です。果たして数学という学問において、計算という作業は重要なことでしょうか。

いいえ。

重要なのは計算を正確にすることではなく、その前に論理コトバを使って問題の構造を把握した行為ではないでしょうか。

要するに、計算するという行為は数学のほんの脇役にすぎないのです。はっきり言いましょう。なくても困らないものです。

これが、数学とはコトバの使い方を学ぶ学問であるという私の主張の根拠です。

数学≠計算する学問
数学=論理コトバを使う学問

これが本当の数学の姿なのです。

余談ですが、いま大学生などは就職活動のときに能力検査のようなものを受検します。パスしないと面接などの採用活動に進めないのですが、能力検査の中には「言語」と「非言語」に概念を分け、別々に実施するものもあるようです。

「言語」はいわゆる国語。「非言語」がいわゆる算数や数学など数的思考力を確認するものとされています。

数学をコトバの学問と定義している私には、当然ながらこの分け方に納得できないでいます(苦笑)。どちらもコトバを扱う検査です。どうしても分けたいのなら、「国語力」と「数字力」といった名称にしてもらいたいと思うのですが……。

これ以上続けるとさらに脱線してしまいます。次に進みましょう。

■自分ではわかっていても誰かに説明できない

私の主張にご納得いただくためには、もう少し説明が必要な気がしています。何しろ、私たちは数学の授業で相当量の計算をさせられてきましたからね。

そこで、ふたつほど具体的なエピソードをご紹介することにします。

まずひとつ目。

企業研修や大学の講義など教育の現場にいて、痛切に感じることがあります。自分ではわかっているのに誰かに説明することができない人の多さです。

要するに、こういうことです。

論理コトバを使ってものごとの構造を把握し、論証し、第三者にわかりやすく説明する行為ができない。

たとえば、机上では問題をスラスラ解くのに、ホワイトボードや黒板を使って説明してほしいと要求すると、強く拒否する学生がいます。理由は、「先生の説明をふまえてなんとなく『雰囲気』で解いた結果なので、正解かどうか自信がないから」だと言うのです。

あるいは、「自分では理解できているんですけど、部下に説明するのが難しくて」という悩みを抱えているビジネスパーソンも少なくありません。興味深いのは、数学の勉強がとてもできたはずの理系出身の優秀なビジネスパーソンの多くが、意外に説明やプレゼンテーションが下手だということです。あくまで私の経験からくる感覚値ですが。

いくら数学の成績がよかったとしても、これでは数学を役立てられていないと言えるでしょう。

なぜ、彼らは数学を役立てられていないのか。

それはかつての授業で「作業」しかしなかったからです。作業だけさせ、○(マル)×(バツ)を与えるだけの教え方は、こういう大人をつくってしまうのです。

■「円周率とは?」「3.14です」は大間違い

ふたつ目の事例を。

たとえばあなたに「円周率とは何でしょうか?」と訊(たず)ねたとします。どう答えるでしょうか。もっとも多い答えがこれです。

「3.14です」

いいえ、そうではなくて、私は「円周率とは何か」を訊ねています。つまり円周率の定義です。円周率の値を訊ねているわけではありません。

円周率とは「円の直径の長さと円周の長さの比率のこと」です。どんな大きな(小さな)円でも、必ずその比率は一定の値になります。どんな大きな(小さな)円でも、です。それって誰が見つけたのでしょう! すごい発見ですよね!(数学好きの人間は、こういうところで興奮する性質があります)

どうやって見つけたのか。円というものの構造をどんなアプローチをして把握し、どう筋道を立てて結論を導いたのか。それこそが数学なのです。

おそらくかつての数学者たちも、円周率発見の過程において、論理コトバをたくさん使って思考したはずです。

・計算する数学→円の面積を求められるようにさせる(3.14として計算させる)
・計算しない数学→円周率とは何かを理解させ、説明できる状態にさせる

「3.14です」という答えが出るのは、前者の立場の教育を受けた結果です。円周率を単なる作業の道具としてしか認識していないことを端的に示しています。私が数学教師なら、後者のテーマで授業をするでしょう。数学でもっとも大切な論理コトバの使い方を学ぶことができますから。

■「たとえば」「つまり」も数学コトバだった!

数学が主題の本なのに、主役が明らかに言葉であることに、あなたは少々戸惑っているかもしれません。理由は「数学」のイメージと「言葉」という概念の間に距離があるからでしょう。

そこで、いまからその戸惑いを消し去る作業をします。数学とはコトバを使う学問であり、そのコトバをここまでは「論理コトバ」として表現してきました。これをもっと端的なひと言で表現したい。そのため、私はこんな言葉をつくりました。

数学コトバ。

「数学」と「言葉」のあいだに距離があるのなら、いっそ結合させてしまえばいい。そんな単純な発想ですが、これ以上わかりやすく本質的な表現はありません。

■計算をやめると頭が動きだす

ここで極端な話をします。

もし数学の授業で計算を禁止したら、何が起こるでしょうか。

もちろん、現実を無視した極論です。学校の教師からは鼻で笑われるでしょう。

それでも、何が起こるのかを想像してみましょう。

計算漬けの授業では、生徒は計算という作業によって○(マル)をもらえるのですから、当然、作業しかしなくなります。教師には「作業の仕方」を教えてもらおうとします。それだけで十分だからです。生徒が教師に「解き方を教えてください」としばしば言うのは、このような背景があるからです。

教師も、計算という作業さえさせれば授業が成立するのですから、失礼ながらそのほうが授業の準備はラクです。生徒も教師も、作業にかまけて「考えること」をしなくなっていきます。

しかし、計算なしの授業となると、教師は数学の本質を伝えなければならず、どう生徒に伝えるかに知恵を絞ることでしょう。その過程で、間違いなく教師自身が作業ではなく、数学コトバを駆使して思考しているはずです。

そんな授業は、おそらく生徒も数学コトバを使って徹底的に思考する時間になるはずです。教える側も教えられる側も、数学コトバを使って考え、本質をとらえようとするのです。

素晴らしいことだと思います。いったい何の問題があるでしょうか。

ここまでの説明で、数学とは、コトバの使い方を学ぶ学問であるという本質について、もう十分お伝えできたと思います。この本質を理解いただければ、いまからでもあなたは数学的な人物に変わることができます。そのエッセンスをビジネスだけでなく暮らし全般に役立てることもできます。

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深沢 真太郎(ふかさわ・しんたろう
ビジネス数学教育家
BMコンサルティング代表取締役。一般社団法人日本ビジネス数学協会代表理事。国内初のビジネス数学検定1級AAA認定者。1975年神奈川県生まれ。幼少の頃より数学に没頭し、日本大学大学院総合基礎科学研究科修了後、大学院にて理学修士(数学)を取得。予備校講師、外資系企業の管理職などを経て、2011年に「ビジネス数学」を提唱する研修講師として独立。大手企業やプロスポーツ団体の研修を手がけ、数字や論理思考に強いビジネスパーソンの育成に務める。2018年からビジネス数学インストクター養成講座を開講。指導者の育成にも従事している。主な著書にベストセラーとなった『数学女子 智香が教える 仕事で数字を使うって、こういうことです。』(日本実業出版社)、『「仕事」に使える数学』(ダイヤモンド社)、『数字アタマのつくりかた』(三笠書房)など多数。

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※写真はイメージです - 写真=iStock.com/shawn_hempel